小春の熱意に負け、数学を教えることになる。 頂点の座標・軸の方程式・y軸との共有点
なぜ平方完成をする必要があるの?
まとめ. その中でも、「平行移動(へいこういどう)・対称移動(たいしょういどう)」に関する内容は、二次関数以外の関数でも役に立つため、数学Ⅱ・数学Ⅲでも出てくる重要な知識です。, そしたら今のうちに理解しておいた方が良いよね。でも、平行移動の公式の成り立ちがよくわからないんだよなぁ。, よって本記事では、グラフの平行移動の公式(なぜ $+p$ 移動するとき $x-p$ を代入するのか)から、平行移動の応用問題3選の解き方まで, $y=f(x)$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+p$,$y$ 軸方向に $+q$ だけ平行移動したグラフは、$y-q=f(x-p)$ と表すことができる!, と、$+p$ なのに $x-p$ のような、符号の逆転現象が起きている、という点です。, ここがよくわからないです! $+p$ だけ動かしたいんだから、$x+p$ を入れれば良いんじゃないの?, ここで、上記のように悩んでしまって理解できない、という方が非常に多いように感じます。, なので、逆に言うとこの事実さえしっかり理解できれば、平行移動および対称移動の問題は楽勝も同然なのです。, ということで、ここからは $2$ つの考え方で、平行移動の公式を解説していきます。ぜひ、自分に合った方法で理解しましょう!, 例題1.二次関数 $y=x^2 …①$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+1$,$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動したグラフの方程式を求めなさい。, 放物線 $y=x^2 …①$ の頂点の座標は、もちろん原点 $( \ 0 \ , \ 0 \ )$ である。, ①のグラフを $x$ 軸方向に $+1$,$y$ 軸方向に $+3$ 平行移動すると、頂点の座標ももちろんその分だけ移動するので、$( \ 1 \ , \ 3 \ )$ となる。, であり、たしかに①の $x$,$y$ をそれぞれ $x-1$,$y-3$ に変えた方程式, 平行移動してもグラフの形は変わらないため、グラフの形を決める係数 $a$ の値は同じです。, それを踏まえた上で”頂点の移動のみ”に着目しても、以上のように公式が導ける、というわけですね。, たしかに、こういう風に逆算して考えれば、平行移動の公式が正しい理由がわかりますね。, 数学が嫌いになる原因の一つとして「証明がわからない」というのがあります。無理して証明を覚えるくらいなら、以上のように「証明ではないけれども感覚で理解しておくこと」の方が大切だと、私は思いますね。, 証明のための準備:関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $( \ x \ , \ y \ )$ を、$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたら、点 $( \ X \ , \ Y \ )$ に移動したと仮定する。, 以上 $3$ つが前提であり、ここから $X$,$Y$ についての関係式を作っていきます。, $( \ x \ , \ y \ )$ を $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたら $( \ X \ , \ Y \ )$ に移動したことから、, ここで、点 $( \ x \ , \ y \ )$ は関数 $y=f(x)$ 上の点なので、代入することができるから、①より, となり、たしかに $x$ の代わりに $X-p$,$y$ の代わりに $Y-q$ を入れた方程式となった。, なるほど。使える条件が少ないから、必然的に証明もシンプルになるね。でも、大文字の $X$ や $Y$ が何となくひっかかるなぁ。, 大文字の $X$,$Y$ で考えたのは、小文字の $x$,$y$ と区別するためです。そもそも、「 $x$ 軸・$y$ 軸」というのも一種の決まり事なので、たとえば「 $a$ 軸・$b$ 軸」とかでも問題はないわけです。, 証明は意外とシンプルなのですが、慣れていないと「ん?」と思うようなロジックなんですね。, ここの論理については、数学Ⅱ「軌跡」の単元で詳しく学習しますので、よくわからない方は「とりあえず証明はこんな感じなんだな~」という雰囲気だけでも押さえておきましょう。, 関数 $y=f(x)$ に対して、① $x$ 軸に関して対称なグラフ:$-y=f(x)$ すなわち $y=-f(x)$② $y$ 軸に関して対称なグラフ:$y=f(-x)$③ 原点に関して対称なグラフ:$-y=f(-x)$ すなわち $y=-f(-x)$, さて、グラフの平行移動の他にもう一つ「グラフの対称移動」というものがありますが、平行移動の公式が理解できれば、こちらは自然と理解できるかと思います。, $x$ 軸に関して対称移動したグラフ同士の図を見ればわかる通り、$y$ → $-y$ と変えればOKですよね。, 他の場合は省略しますが、対称移動の場合は「 $-$ を付けるか否か」だけなので、単純に考えてしまいましょう。, ただし「 $x$ 軸に関して対称だから $x$ を $-x$ に変えればいい!」みたいな発想はNGです。しっかりと図を書くことで、$x$ 座標は変化しないことが見てわかりますよね。, 「どっちにマイナスを付けるか」という風に混乱した場合でも、図を書いてみれば一目瞭然です。, 基本はこれでマスターできましたので、ここからは復習もかねて、応用問題を $3$ 問解いていきます。, 問題1.放物線 $y=-x^2+2x-3 …①$ を、$x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めなさい。, 一番オーソドックスな問題ですが、公式の解説でも考えたように、「頂点の移動」に着目しても解けます。, となり、頂点の座標が $( \ 1 \ , \ -2 \ )$ であることがわかるので、平行移動後の放物線の頂点の座標は、, 「頂点の移動で考える方法」「平行移動の公式を使う方法」どちらにも良さがあるため、一概に「こっちの方がオススメ!」とは言えません。, 問題2.ある放物線 $A$ を、$x$ 軸方向に $-1$,$y$ 軸方向に $+2$ だけ平行移動したら、放物線 $y=2x^2+3x-4$ になった。放物線 $A$ の方程式を求めなさい。, ただ、この問題もある事実に気づいてしまえば、あとは平行移動の公式を使ってラクに解くことができます。, 問題文から、放物線 $y=2x^2+3x-4$ を、$x$ 軸方向に $+1$,$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したら、放物線 $A$ になる、と逆に考えることができる。, ちなみに、問題2も頂点の移動で解くことも可能ですが、今回頂点の座標に分数が出てきてしまうため、計算が大変です。, こういった問題にも対応できるようになりたい方は、平行移動の公式を使える方が良いですね!, 問題3.ある放物線 $B$ を、$x$ 軸方向に $+2$,$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した後、原点に関して対称移動したら、放物線 $y=2x^2-6x+7$ になった。放物線 $B$ の方程式を求めなさい。, これは公式を使わないと厳しそうですね!ところで、もし移動の順番を逆にしてしまうとどうなるんですか?, 対称移動は平行移動と違って、「いつも一定の変化をする移動ではない」ため、このようなことが起きてしまうのですね。, 仮に平行移動→平行移動の問題であれば、順番が逆になっても問題はありません。これは自分で問題を作ってみて、図を書いて確認してみてください。, 平行移動・対称移動の知識は、どんな関数のグラフであっても使えるので、ぜひこの機会に押さえておきましょう。, 数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。, ウチダショウマ。数学が大好きな25歳男性。東北大学理学部数学科卒業→教員採用試験1発合格→高校教師になるも、働き方に疑問を感じわずか1年で退職。現在は塾講師をしながら、趣味ブロガーとして活動中。楽しい。, 確認画面は表示されません。上記内容にて送信しますので、よろしければチェックを入れてください。, \begin{align}X=x+p \ , \ Y=y+q\end{align}, \begin{align}x=X-p \ , \ y=Y-q …①\end{align}, \begin{align}y&=-x^2+2x-3\\&=-(x^2-2x)-3\\&=-\{(x-1)^2-1\}-3\\&=-(x-1)^2+1-3\\&=-(x-1)^2-2\end{align}, \begin{align}( \ 1 \ , \ -2 \ )+( \ -2 \ , \ +3 \ )=( \ -1 \ , \ 1 \ )\end{align}, \begin{align}y-3&=-(x+2)^2+2(x+2)-3\\&=-(x^2+4x+4)+2x+4-3\\&=-x^2-4x-4+2x+4-3\\&=-x^2-2x-3\end{align}, \begin{align}y+2&=2(x-1)^2+3(x-1)-4\\&=2(x^2-2x+1)+3x-3-4\\&=2x^2-4x+2+3x-3-4\\&=2x^2-x-5\end{align}, \begin{align}y-3&=-2(x+2)^2-6(x+2)-7\\&=-2(x^2+4x+4)-6x-12-7\\&=-2x^2-8x-8-6x-12-7\\&=-2x^2-14x-27\end{align}, 二次関数のグラフの書き方とは?
「二次関数のグラフをなかなか上手く書けない…」と感じている方は必見です。, 平方完成のやり方マニュアル4STEP
二次関数でつまづく原因の1つがこの平行移動です。しかし、理解すればなんてことありません。そのコツとして二次関数の式の仕組みを理解しましょう。ここでは、二次関数の式からグラフを自在に書ける解説をします。トムくん平行移動ってイマイチ意味が分から 高2の時点で高校数学全範囲を網羅した楓(かえで)から数学を教わる。 二次関数でつまづく原因の1つがこの平行移動です。しかし、理解すればなんてことありません。そのコツとして二次関数の式の仕組みを理解しましょう。, \(y=2(x-3)^2+5\)だったり、\(y=(x+1)^2-1\)だったりです。実はこの式に平行移動の全ての情報が詰まっています。, という2次関数の式があったらaは二次関数の形を決めます。aが正か負かで形が逆になりますし、aの大きさで細くなったり太くなったりしますよね。, ここがイマイチな方は、【二次関数のグラフ】書き方と頂点座標【これを見れば完璧】を一度読んでみてください。, bはxの移動距離、cはyの移動距離を表しています。例えば、\(y=2(x-3)^2+5\)を考えてみましょう。まずは原点に頂点を持ってきて、\(y=2x^2\)のグラフを書きます。, ここで\(y=2(x-3)^2+5\)のbとcは何でしょうか。\(b=3, c=5\)ですよね。つまり、\(y=2x^2\)のグラフを、xに3、yに5移動させれば\(y=2(x-3)^2+5\)のグラフの完成です。, 1つ注意点があるとすればこの形。$$y=(x+1)^2-1$$\(b=-1, c=-1\)ですよね。つまり、x方向に-1、y方向に-1移動するということです。, \(y=a(x-b)^2+c\)の平行移動は分かったところで、\(y=Ax^2+Bx+C\)について考えましょう。, 実はすごく簡単でこの\(y=Ax^2+Bx+C\)を\(y=a(x-b)^2+c\)に変形すればそれで解決します。この変形のことを平方完成と呼びます。. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 今回は、高校数学Ⅰで学習する二次関数の単元から平行移動に関する以下の問題について解説していきます。, グラフが放物線\(y=-3x^2+2x+1\)を平行移動したもので、点\((1,1)\)と点\((2,-8)\)の2点を通る二次関数の式を求めなさい。, 今回の問題であれば、頂点や軸などの情報は与えられていないので標準形の式を利用していきます。, そこで、点\((1,1)\)と点\((2,-8)\)の2点を通ることを利用します。, グラフが放物線\(y=x^2-3x+2\)を平行移動したもので、点\((1,1)\)と点\((2,3)\)の2点を通る二次関数の式を求めなさい。, 『グラフが放物線\(y=x^2-3x+2\)を平行移動した』という部分から、\(a=1\)が読み取れます。, グラフが放物線\(y=2x^2+3x+5\)を平行移動したもので、点\((1,7)\)と点\((-1,5)\)の2点を通る二次関数の式を求めなさい。, 『グラフが放物線\(y=2x^2+3x+5\)を平行移動した』という部分から、\(a=2\)が読み取れます。, ① 基礎力アップ!点をあげるための演習問題 ② 文章題、図形、関数のニガテをなくすための特別講義 ③ わからないを解決!質問対応サポート ④ オリジナル教材の配布など、様々な企画を実施!. これらについて、わかりやすく丁寧に解説します。 「二次関数のグラフの平行移動」がわからない?本記事では、平行移動の公式の証明2通りから、平行移動・対称移動に関する応用問題3選まで、わかりやすく解説します。「なぜ平行移動の公式はマイナスが出てくるのか」よくわからない方は必見です。 二次関数グラフの書き方を初めから解説! 二次関数の式の作り方をパターン別に解説! 二次関数を対称移動したときの式の求め方を解説! 平行移動したものが2点を通る式を作る方法とは? ←今回の記事; どのように平行移動したら重なる? 2次関数のグラフの平行移動 y=x²+4x+9 ここでは、この関数のグラフをx軸方向に4、y軸方向に−2平行移動したときに得られる放物線の方程式を求めてみましょう。 "y=ax²+bx+c"のグラフをx軸方向にp

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